三角函数

如果你还没接触过三角函数，可能会好奇Scratch里的sin，cos，tan是什么意思。

三角函数能讲的东西很多，本教程只介绍其中最简单（也是最实用）的部分。

θ是什么？

就跟我们用“A，B，C”这样的大写字母表示顶点、用“a，b，c”这样的小写字母表示边一样，我们会用“α，β，θ”这样的希腊字母表示角度。它只是一个字母而已，与a，b，c没有根本区别

公式有3个，不过长得非常像：

一个不认识的运算(一个角度) = 一条边 / 另一条边

每一个公式都包含了“1个角度+2条边”。也就是说：

只要我们知道直角三角形中（除直角外的任意）一个角，就可以算出任意两条边的长度的比值； 如果我们还知道其中一条边的长度，那么可以直接求出剩下两条边的长度。

案例解析

我们来看一个例子吧：

如图，你站在一根旗杆旁边5m的地方，抬头延76°方向观看，正好能看到旗杆顶端。计算旗杆的高度h （人的身高忽略不计）

这次的直角三角形非常显而易见，相信你已经找出来了：

但是公式有3个，这里应该用哪一个？ 这道题的5和h，对应的是公式里的a, b还是c？

- θ = 76° a = h b = 5

为什么？这里我先卖个关子，各位不妨对照公式原图先猜猜。分析方法我会在后面给出。

同时包含a，b，θ的公式只有第三条（tan），那么代入进去吧：

tan(76) = h / 5

tan(76)等于什么？要怎么算？

坏消息是，这东西没法用笔计算；好消息是，我们可以用计算器和计算机。

tan(76) ≈ 4，剩下的就非常简单了：

h = 5 * tan(76)
  = 5 * 4
  = 20

所以旗杆的高度大约是20m。 我们不用爬到旗杆上，就能测出旗杆的高度。是不是很神奇？

对边、邻边、斜边

回到之前的问题：我是怎么知道“h和5”分别对应“a和b”的？ 或者说，我是怎么区分三角形的3条边的。

选择三角形中的其中一个角θ。与θ相邻的两条边叫θ的“邻边”，与θ不相邻的那一条边叫θ的“对边”。

可是“邻边”有两条诶？

我们的公式前面要求过，这必须是一个直角三角形，而且我们选的θ是一个锐角。 也就是说，除了θ外的另外两个角中，肯定有一个直角。

于是，我们给那个直角的对边（同时也是三角形中最长的边）起了另一个名字，叫做“斜边”。

这样一来，只要我们选择了直角三角形的其中一个锐角，就可以用3个不同的名字称呼它的3条边了。

我们的公式就可以写成——

注意： 选择的θ不同，“邻边”和“对边”也会有所不同。只有“最长的边是‘斜边’”是固定不变的

刚刚那道题中：

76°就是我们选择的θ；

旗杆h与76°不相邻，所以是“对边”；

地面5与76°相邻，但不是直角的对边，所以是“邻边”。

因此使用公式：tan(θ) = 对边 / 邻边

是不是有点晕？ 分清楚三角形的三条边，是使用三角函数公式的前提。这些知识得先消化掉我们才能继续，加油吧~

巩固练习

如果你觉得自己理解的差不多了，就来看下一个例题，检验一下学习成果吧——

如图，一个角色在(0, 0)的位置，面向37°方向，移动了100步。计算它移动后的坐标(x, y)

sin(37) ≈ 0.6 cos(37) ≈ 0.8 tan(37) ≈ 0.75

建议：先自己思考，再看答案。 你目前掌握的知识已经足够解决这个问题了。

如果你已经思考过了，那么继续吧——

又是熟悉的坐标。 有了之前的经验，各位想必已经知道如何在直角坐标系下构建直角三角形了。

这道题中已知的角是37°，已知的边100是斜边。

x是37°的对边，联系对边与斜边的公式是sin。

sin(37) = x / 100

题目已经给出：sin(37) ≈ 0.6，所以——

x = 100 * sin(37)
  = 100 * 0.6
  = 60

y是37°的邻边，联系邻边与斜边的公式是cos

cos(37) = y / 100

题目已经给出：cos(37) ≈ 0.8，所以——

y = 100 * cos(37)
  = 100 * 0.8
  = 80

综上所述，移动后的坐标是(60, 80)。

最终答案跟你算的一样吗？

这道题的方法不唯一。你可以先算x，也可以先算y；算出一条直角边后，另一条可以用tan，也可以用之前学的勾股定理。最终都会得到x=60，y=80。

但如果你算出来的x和y是反的，就需要好好检查一下，是不是把对边和邻边搞反了。

Scratch应用

我们刚刚已经学会了用三角函数计算“向 ( ) 方向移动 ( ) 步”后的坐标。

下面这个Scratch写的移动函数，你应该能够看懂了吧？

既然作用与原版一样，为什么要重新写一遍呢？

知道了底层原理，就可以对它进行各种不同的改造，满足新的需求。比如：

在大地图引擎里，角色的坐标存在变量里。 移动角色需要改变那几个储存了坐标的变量，而不能用原版的 [移动 ( ) 步] 了。

但如果你知道 [移动 ( ) 步] 是如何实现的，只需要把变量一换，就能在大地图里实现相同的效果：

再比如，我希望子弹一边旋转、一边向固定方向飞行：

原版的（方向）要用来做自旋，不能用来控制移动了。

但这难不倒我们。只要稍加修改、把方向也做成参数，就可以自由指定移动方向了。再建一个新的变量（direction）来储存方向，子弹怎么转也不会影响到移动方向。

下一讲：反三角函数

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